Belajar Logika Matematika

Belajar Logika Matematika

Apakah Logika Itu?

Perhatikan ilustrasi berikut ini!

Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?

i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera

ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera

iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi

iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi

Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.

Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

 

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinyakata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadiilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

 

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

logic1 Belajar Logika Matematika

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika(conective logic):

clip image0024 Belajar Logika Matematika : Merupakan lambang operasi untuk negasi

clip image0046 Belajar Logika Matematika : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

clip image006 Belajar Logika Matematika : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

clip image008 Belajar Logika Matematika : Merupakan lambang operasi untuk implikasi

clip image010 Belajar Logika Matematika : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “clip image0025 Belajar Logika Matematika” atau “clip image0124 Belajar Logika Matematika”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya clip image0026 Belajar Logika Matematikap salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya clip image0027 Belajar Logika Matematikap benar.

 

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

logic21 150x150 Belajar Logika Matematika

B = benar

S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)

-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. r : 3 bilangan positif (B)

-r : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negatif

(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

2) Pernyataan Majemuk

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh:

clip image023 Belajar Logika Matematika disebut konjungsi

clip image025 Belajar Logika Matematika disebut disjungsi

clip image027 Belajar Logika Matematika disebut Implikasi

clip image029 Belajar Logika Matematika disebut biimplikasi

3) Konjungsi (clip image0231 Belajar Logika Matematika)

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

logic44 Belajar Logika Matematika

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B)

q : 5 bilangan ganjil (B)

clip image0233 Belajar Logika Matematika : 5 bilangan prima dan ganjil (B)

4) Disjungsi/ Alternasi (clip image0251 Belajar Logika Matematika)

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

 

Dengan tabel kebenaran

logic52 Belajar Logika Matematika


Contoh:

1. : 1 akar persamaan clip image039 Belajar Logika Matematika (B)

q : -1 akar persamaan clip image0391 Belajar Logika Matematika (B)

clip image0253 Belajar Logika Matematika : 1 atau -1 akar persamaan clip image0392 Belajar Logika Matematika (B)

2. : Bogor di Jawa barat (B)

: Bogor itu kota propinsi (S)

clip image0254 Belajar Logika Matematika : Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional (clip image0271 Belajar Logika Matematika)

clip image0272 Belajar Logika Matematika boleh dibaca:

jika p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi clip image0273 Belajar Logika Matematika bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

 

Dengan tabel kebenaran

logic6 Belajar Logika Matematika

 

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2                                         (B)

(B)                                (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang    (B)

(S)                                                 (S)

 

 

6) Biimplikasi atau Bikondisional (clip image0291 Belajar Logika Matematika)

clip image0292 Belajar Logika Matematika boleh dibaca:

jika dan hanya jika (disingkat “p jhj q”)

jika p maka qdan jika q maka p

syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi clip image0293 Belajar Logika Matematika bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

 

Dengan tabel kebenaran

logic7 Belajar Logika Matematika

 

Contoh:

1. 2 x 2 = 4  jika dan hanya jika 4 : 2 = 2        (B)

(B)                                                  (B)

2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0         (S)

(B)                                                (S)

 

 

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

Implikasi : clip image00212 Belajar Logika Matematika

Inversnya : clip image0048 Belajar Logika Matematika

Konversnya : clip image0064 Belajar Logika Matematika

Kontraposisinya : clip image0084 Belajar Logika Matematika

Contoh:

Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas

Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas

Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring

Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Dengan tabel kebenaran:

clip image0104 Belajar Logika Matematika clip image0126 Belajar Logika Matematika clip image0146 Belajar Logika Matematika clip image01620 Belajar Logika Matematika Implikasiclip image00213 Belajar Logika Matematika Inversclip image0049 Belajar Logika Matematika Konversclip image0065 Belajar Logika Matematika Kontraposisiclip image0085 Belajar Logika Matematika
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:

clip image022 Belajar Logika Matematika

clip image024 Belajar Logika Matematika

Catatan:

clip image026 Belajar Logika Matematika” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

1) Pengertian Argumen

Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!

1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)

Harga barang naik                                                                            (premis 2)

Jadi permintaan barang turun                                                     (konklusi)

2. Jika clip image00218 Belajar Logika Matematika, maka clip image00414 Belajar Logika Matematika (premis 1)

clip image00219 Belajar Logika Matematika (premis 2)

Jadi clip image00415 Belajar Logika Matematika (konklusi)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

  • Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
  • Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi(kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.

1. Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.

Bentuknya sebagai berikut:

clip image00610 Belajar Logika Matematika (premis 1) berupa implikasi

clip image00810 Belajar Logika Matematika (premis 2) berupa anteseden

——–

clip image0106 Belajar Logika Matematika (konklusi)

Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

logic3 300x112 Belajar Logika Matematika

clip image00811 Belajar Logika Matematika clip image0148 Belajar Logika Matematika clip image00611 Belajar Logika Matematika
B B B
B S S
S B B
S S B

Argumentasi ini sah karena untuk premis clip image00612 Belajar Logika Matematika dan benar, konklusi q juga benar.

Contoh:

Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

Harga barang naik

Jadi permintaan barang turun

2. Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.

Bentuknya sebagai berikut:

clip image00613 Belajar Logika Matematika (premis 1) berupa implikasi

clip image018 Belajar Logika Matematika (premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

clip image020 Belajar Logika Matematika (konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

clip image00813 Belajar Logika Matematika clip image01410 Belajar Logika Matematika clip image0226 Belajar Logika Matematika clip image0181 Belajar Logika Matematika clip image00614 Belajar Logika Matematika
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis clip image00615 Belajar Logika Matematika dan clip image0182 Belajar Logika Matematikabenar, konklusi clip image0227 Belajar Logika Matematika juga benar.

 

 

Contoh:

Persamaan clip image02512 Belajar Logika Matematikaclip image02712 Belajar Logika Matematika, maka clip image02912 Belajar Logika Matematika dan clip image03118 Belajar Logika Matematika berlainan

clip image02913 Belajar Logika Matematika dan clip image03119 Belajar Logika Matematika tidak berlainan

Jadi persamaan clip image02513 Belajar Logika Matematikaclip image0336 Belajar Logika Matematika

3. Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:

clip image00616 Belajar Logika Matematika (premis 1) berupa implikasi

clip image0356 Belajar Logika Matematika (premis 2) berupa implikasi

———-

clip image037 Belajar Logika Matematika (konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

clip image00814 Belajar Logika Matematika clip image01411 Belajar Logika Matematika clip image0398 Belajar Logika Matematika clip image00617 Belajar Logika Matematika clip image0357 Belajar Logika Matematika clip image042 Belajar Logika Matematika
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis clip image00618 Belajar Logika Matematika dan clip image0358 Belajar Logika Matematika benar, konklusi

clip image0421 Belajar Logika Matematika juga benar.

Contoh:

Jika clip image044 Belajar Logika Matematika, maka clip image046 Belajar Logika Matematika

Jika clip image0461 Belajar Logika Matematika, maka clip image0484 Belajar Logika Matematika

Jadi jika clip image0441 Belajar Logika Matematika, maka clip image0485 Belajar Logika Matematika

sumber : http://www.matematikamenyenangkan.com/logika-matematika/

Incoming search terms:

buffer Belajar Logika Matematikadiggit Belajar Logika Matematikaemail Belajar Logika Matematikafacebook Belajar Logika Matematikatwitter Belajar Logika Matematikatumblr Belajar Logika Matematikagoogle Belajar Logika Matematikareddit Belajar Logika Matematikaprint Belajar Logika Matematikapinterest Belajar Logika Matematikalinkedin Belajar Logika Matematikaflattr Belajar Logika Matematikastumbleupon Belajar Logika Matematika

Comments are closed.