Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik


Admin jebidal.com pada kesempatan kali ini akan mencoba membahas tentang Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

Silahkan langsung Copypaste saja, tetapi baiknya di teliti dulu barang kali ada yang salah ketik baik judul maupun isi postingan Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik, jika sudah yakin silahkan dipergunakan sebagaimana mestinya, jika anda beruntung ada link downloadnya, jangan ragu dan bimbang lansung download saja, semoga blog ini memberi manfaat.

Alangkah baiknya Anda membaca dengan teliti, supaya apa apa yang ada di blog ini bisa bermanfaat, jika hasil dari postingan di blog ini kurang memuaskan, silahkan cari di kotak pencarian [Search Here] atau [Search], kalau tidak salah admin taro di bawah artikel postingan [untuk view handphone/ smartphone atau sejenisnya] dan bagian samping kanan [untuk view via destop/ PC/ Laptop dan sejenisnya], dan semoga hasil dari pencarian blog ini dapat mempermudah Anda dalam menjelajah isi blog jebidal.com ini. selamat berselancar.

Postingan Lainnya yang berhubungan dengan Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

  • Contoh Soal Anggaran Produksi dan Penyelesaiannya
  • Hadits Tentang Larangan Korupsi dan Kolusi
  • Faktor Penyebab Terjadinya Monopoli
  • makalah tentang pajak kendaraan bermotor
  • Makalah SUMBER-SUMBER HUKUM ISLAM
  • PENGERTIAN BERKAH
  • Makalah Manajemen Perpustakaan
  • Makalah Kecerdasan Matematis Logis
  • semoga dengan mengunjungi jebidal.com, anda mendapatkan informasi menarik dan dapat bermanfaat bagi anda, dalam situs jebidal.com menitik beratkan pembahasan yang berkaitan dengan pendidikasn, seperti makalah, materi pelajaran, contoh soal ujian dengan jawabannya, contoh skripsi, contoh tesis, dan info menarik serta unik lainnya. Anda sedang membaca postingan yang berjudul Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik
    Admin jebidal.com juga mempermudah pengunjung untuk mendapatkan manfaat dari blog jebidal.com, silahkan jelajahi setiap sudut dari blog ini, semoga menemukan yang Anda cari. Selamat menelusuri blog ini. Anda sedang membaca postingan yang berjudul Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik.

    Jika Anda ingin mendapatkan update dari blog jebidal.com, silahkan follow twitter @jebidal, ini link langsungnya @jebidal
    Jika Anda lebih suka mainan facebook jangan ragu untuk like fan page jebidal.com ini link langsungnya Jebidal.com on Facebook
    dan jika Anda lebih betah menggunakan akun Gplus Anda, jebidal.com juga punya silahkan follow saja, ini link langsungnya jebidal.com on Gplus

    Mari Kita simak lebih detailnya tentang Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

    Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

    Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

     

    Oleh :  Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

     Matematika Kombinatorik 1

    Masalah 1

    Terdapat berapa carakah kita dapat memilih 2 baju dari 20 baju yang tersedia?

    Cara 1

    Misalkan baju diberi nomor dari 1 sampai dengan 20. Kita daftarkan semua pilihan yang

    mungkin dengan mengurutkan dari nomor yang paling kecil.

    Tabel 1

    1, 2

    1, 3 2, 3

    1, 4 2, 4 3, 4

    M M M

    1, 20 2, 20 3, 20 … 19, 20

    19 cara 18 cara 17 cara 1 cara

    1 + 2 + 3 + …+ 19 = ½ ×19 × (1+ 19) = 190.

    Banyaknya cara untuk memilih 2 baju dari 20 baju adalah sebanyak 190 cara.

    Cara 2

    Untuk pilihan pertama kita dapat memilih 20 baju, dan pilihan kedua terdapat 19 cara kita

    memilih baju. Berikut adalah daftar pilihan baju.

    1, 2 2, 1 … 20, 1

    1, 3 2, 3 20, 2

    1, 4 2, 4 20, 3

    M M M

    1, 20 2, 20 20, 19

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 2

    Terdapat 20 × 19 pasangan baju yang dapat dipilih. Tetapi urutan tidaklah kita

    perhatikan, sehingga setiap dua baju terhitung 2 kali. Sebagai contoh “1, 2” adalah sama

    dengan “2, 1”.

    Oleh karena itu, banyaknya cara kita dapat memilih 2 baju dari 20 baju yang tersedia

    adalah ½ × 20 × 19 = 190 cara.

    Cara 3

    Menggunakan rumus kombinasi.

    20C2 = 190

    2

    20 19

    2

    20

    .

    Masalah 2

    Terdapat berapa carakah kita dapat memilih 3 baju dari 20 baju yang tersedia?

    Cara 1

    Seperti cara 1 pada masalah 1, kita daftarkan pilihan baju yang mungkin dengan

    mengurutkannya dari nomor yang terkecil.

    1, 2, 3 2, 3, 4 3, 4, 5

    1, 2, 4 2, 3, 5 3, 4, 6

    1, 2, 5 2, 3, 6 3, 4, 7

    M M M

    1, 19, 20 2, 19, 20 3, 19, 20

    Terdapat

    2

    19

    triple

    bilangan yang dimulai

    dengan angka 1.

    Terdapat

    2

    18

    triple

    bilangan yang dimulai

    dengan angka 2.

    Terdapat

    2

    17

    triple

    bilangan yang dimulai

    dengan angka 3.

    M

    17, 18, 19 18, 19, 20

    17, 18, 20

    17, 19, 20

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 3

    Terdapat

    2

    3

    triple

    bilangan yang dimulai

    dengan angka 17.

    Terdapat

    2

    2

    triple

    bilangan yang dimulai

    dengan angka 18.

    Sehingga terdapat 1140

    2

    2

    2

    3

    2

    16

    2

    17

    2

    18

    2

    19

    cara untuk memilih 3

    baju dari 20 baju yang tersedia.

    Cara 2

    Seperti cara 2 pada masalah 1, untuk pilihan pertama kita dapat memilih 20 baju, pada

    pilihan kedua terdapat 19 cara kita memilih baju, dan pada pilihan ketiga terdapat 18 baju

    tersisa yang dapat dipilih. Maka terdapat 20 × 19 × 18 triple baju yang dapat dipilih.

    Tetapi urutan tidaklah kita perhatikan, sehingga terdapat 6 pilihan yang memuat isi baju

    yang sama. Sebagai contoh baju ”1, 2, 3” = ”1, 3, 2” = ”3, 1, 2” = ”3, 2, 1” = ”2, 1, 3” =

    ”2, 3, 1”. Oleh karena itu banyaknya pilihan tiga baju yang berbeda dari 20 baju yang

    tersedia adalah 1140

    6

    20 19 18

    cara.

    Cara 3

    Berdasarkan tabel 1 sudah terdapat 190 pasangan bilangan (baju) yang dapat dipilih dari

    20 baju, sekarang kita tinggal menambahkan bilangan ketiga yang belum ada. Sebagai

    contoh, pada pasangan ”1, 4” ditambahkan bilangan 2, 3, 5, 6, 7, 8, … 20. Tetapi akan

    terdapat tiga triple bilangan yang memuat angka yang sama, contohnya ”1, 4, 2” sama

    dengan ”1, 2, 4” sama dengan ”2, 4, 1”. Sehingga terdapat ½ × 1/3 × 20 × 19 × 18 =1140

    cara.

    Cara 4

    Menggunakan rumus kombinasi.

    20C3 = 1140

    2 3

    20 19 18

    3

    20

    .

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 4

    Masalah 3

    Berdasarkan gambar di samping, jika anda

    hanya boleh bergerak ke atas atau ke

    kanan, ada berapa lintasan yang dapat

    dibuat dari titik P ke titik Q?

    Cara 1

    P

    Q

    1 1 1 1 1 1 1 1

    1

    1

    1

    1

    2 3 4 5 6 7 8 9

    3 6 10 15 21 28 36 45

    4 10 20 35 56 84 120 165

    5 15 35 70 126 210 330 495

    A

    B C

    R

    S

    Dari titik P ke titik A terdapat sebuah lintasan, yaitu hanya bergerak ke kanan. Dari titik P

    ke titik B juga terdapat 1 lintasan. Untuk mencapai titik C terdapat 2 buah lintasan, yaitu

    melalui titik A dan titik B. Demikian seterusnya, untuk mencapai titik Q dapat melalui

    titik R dan titik S. Sehingga banyaknya lintasan dari titik P ke titik Q adalah 330 + 165 =

    495 lintasan.

    Cara 2

    Setiap lintasan dari titik P ke titik Q terdiri dari 12 langkah, yaitu 8 langkah ke kanan (K)

    dan 4 langkah ke atas (A). Rute dari titik P ke titik Q dapat direpresentasikan dengan

    barisan 8 buah huruf K dan 4 buah huruf A. Sebagai ilustrasi berikut adalah dua buah

    contoh rute beserta barisan hurufnya.

    P

    Q

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 5

    P

    Q

    P

    Q

    A A K K A K K K K A K K K K K A K A A K K A K K

    Oleh karena itu, banyaknya lintasan dari titik P ke titik Q adalah sama dengan banyaknya

    cara memilih 4 huruf “A” dari 12 huruf yang tersedia (atau banyaknya cara memilih 8

    huruf “K” dari 12 huruf), yaitu sebanyak 495

    4

    12

    cara.

    Secara umum, banyaknya lintasan yang dapat dibuat dari titik P ke titik Q, dimana P dan

    Q terpisahkan oleh k baris dan m kolom adalah

    k

    m k

    .

    Masalah 4

    Diketahui k dan n adalah bilangan bulat dengan 1 k n. Buktikan bahwa

    1

    1 1

    k

    n

    k

    n

    k

    n

    .

    Cara 1

    Dengan menggunakan definisi faktorial.

    k

    n

    k n k

    n n

    k n k

    n n k k

    k n k

    n k

    k n k

    n n k

    k n k

    n

    k n k

    n

    k

    n

    k

    n

    k

    n

    !( )!

    ( 1)!

    !( )!

    ( 1)!( )

    !( )!

    ( 1)!

    !( )!

    ( 1)!( )

    ( 1)!( 1 1)!

    ( 1)!

    !( 1 )!

    ( 1)!

    1

    1 1

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 6

    Cara 2

    k

    n

    A

    C

    B

    D

    Gambar …

    Berdasarkan gambar …, terdapat

    k

    n

    buah lintasan yang dapat ditempuh dari titik A ke

    titik B. Lintasan-lintasan tersebut dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu lintasan yang melalui

    titik C dan melalui titik D. Banyaknya lintasan dari A ke C adalah

    k

    n 1

    buah lintasan.

    Sedangkan dari A ke D terdapat

    1

    1

    k

    n

    buah lintasan. Sehingga diperoleh

    1

    1 1

    k

    n

    k

    n

    k

    n

    .

    Cara 3

    (1 + x)n = (1 + x)(1 + x)n-1

    Berdasarkan teorema binomial:

    1 1 1

    2

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    (1 )(1 ) (1 )

    … …

    0 1 2

    (1 )

    n k k n

    n k n

    x

    n

    n

    x

    k

    n

    x

    k

    n

    x

    n n

    x x x

    x

    n

    n

    x

    k

    n

    x

    n

    x

    n n

    x

    Koefisien xk dalam (1 + x)n adalah

    k

    n

    .

    Sedangkan koefisien xk dalam (1 + x)(1 + x)n-1 adalah

    1

    1

    k

    n

    +

    k

    n 1

    .

    Sehingga

    1

    1 1

    k

    n

    k

    n

    k

    n

    .

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 7

    Cara 4

    Misalkan S himpunan dengan n objek. Ambil 1 objek, katakan x di S. Kombinasi-k di S

    dapat dibagi ke dalam dua kelas A dan B. Dalam A kita simpan semua kombinasi-k di S

    yang tidak memuat x. Dalam B kita simpan yang lainnya, yaitu kombinasi-k di S yang

    memuat x. Bilangan kombinasi-k di S dalam A sama dengan bilangan kombinasi-k dari

    (n-1) unsur himpunan S-{x}, dan ini sama dengan

    k

    n 1

    . Bilangan kombinasi-k di S

    dalam B sama dengan bilangan kombinasi-(k-1) dari (n-1) unsur himpunan S-{x}, dan ini

    sama dengan

    1

    1

    k

    n

    . Oleh karena itu, diperoleh

    1

    1 1

    k

    n

    k

    n

    k

    n

    .

    Masalah 5

    Ada berapa banyak solusi dari 6 1 2 3 4 x x x x , dimana i x bilangan cacah, untuk i

    = 1, 2, 3, 4.

    Cara 1

    Masalah tersebut dapat direpresentasikan dengan pemilihan banyaknya lintasan dari titik

    A ke titik B dalam kotak yang terdiri dari 6 kolom dan 4 baris. Representasi dari

    banyaknya langkah dalam baris ke-i adalah menunjukkan nilai xi. Sebagai ilustrasi

    diberikan contoh berikut:

    A

    B

    x1 =1

    x2=3

    x3 =2

    x4=0

    Baris 1

    Baris 2

    Baris 3

    Baris 4

    Sehingga banyaknya solusi adalah 84

    3

    9

    .

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 8

    Cara 2

    Masalah 4 dapat dimodelkan dengan banyaknya cara kita mendistribusikan 6 buah ”X”

    dalam 4 ruang. Sekat sebagai pemisah ruang dinotasikan dengan ”|”. Banyaknya ”X” di

    sebelah kiri sekat ke-i menunjukkan nilai xi (untuk i = 1, 2, 3), sedangkan nilai x4

    dinyatakan dengan banyaknya ”X” di sebelah kanan sekat ke-3.

    Ruang 1 Ruang 2 Ruang 3 Ruang 4

    X X | X X | X | X

    x1 = 2 x2 = 2 x3 = 1 x4 = 1

    Oleh karena itu, permasalahan tersebut sama juga dengan masalah banyaknya cara kita

    dapat menempatkan tiga buah ”|” dalam 9 posisi, yaitu sebanyak 84

    3

    9

    .

    Secara umum banyaknya solusi dari x x x x n 1 2 3 k , dimana i x bilangan cacah,

    untuk i = 1, 2, … , k adalah

    1

    1

    k

    n k

    .

    Masalah 6

    Terdapat n orang dalam suatu antrian yang akan masuk ke bioskop. Mereka masuk

    ke`dalam bioskop dalam k rombongan, dimana setiap rombongan terdiri dari satu orang

    atau lebih. Dalam berapa carakah k rombongan tersebut dapat dibentuk?

    Cara 1

    Permasalahan tersebut dapat dimodelkan dengan mencari banyaknya solusi dari

    persamaan

    x x x n x i k k i … , 1, 1,2,…, 1 2

    dan sama juga dengan mencari banyaknya lintasan dari titik A ke titik B pada gambar…

    Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

    Matematika Kombinatorik 9

    Gambar …

    Berdasarkan ilustrasi gambar …, banyaknya lintasan yang dapat dibuat dari titik A ke titik

    B adalah

    1

    1

    1

    1

    k

    n

    k

    n k k

    buah lintasan.

    Oleh karena itu, rombongan yang dapat dibentuk dari n orang adalah sebanyak

    1

    1

    k

    n

    cara.

    Cara 2

    Misalkan “X” adalah simbol untuk orang, dan dua buah rombongan dipisahkan oleh sekat

    “|”.

    Untuk menciptakan k rombongan diperlukan k-1 buah sekat. Karena setiap rombongan

    paling tidak terdiri dari 1 orang, maka sekat ditempatkan pada n-1 buah sela-sela.

    Banyaknya cara menempatkan k-1 buah sekat pada n-1 sela-sela adalah

    1

    1

    k

    n

    .

    Rombongan yang dapat dibentuk dari n orang adalah sebanyak

    1

    1

    k

    n

    cara.

    x1

    x2

    xk

    k-1

    n-k+k-1

    n-k

    A

    B

    X | X | X X | X X

    n orang

    Other articles you might like;

    Postingan Lainnya;


Terimakasih sudah membaca postingan yang berjudul
Semoga isi dari postingan blog ini bisa bermanfaat, sekali lagi admin jebidal.com ucapkan terima kasih atas kunjungan Anda. Jangan sungkan dan jangan ragu untuk membagikan isi dari blog ini. Silahkan Share Postingan yang membahas tentang Masalah Dan Alternatif Jawaban Dalam Matematika Kombinatorik

cari di kotak pencarian ini